NOTA DEL AUTOR

La transcripción comienza el 01-12-2012 con (EL ASPECTO), continúa con el (PRÓLOGO) y con la (INTRODUCCIÓN) ordenada en 75 partes. Sigue con el resto de las entradas en las que también habrá adivinanzas, enigmas, rompecabezas, preguntas con respuesta, curiosidades y anécdotas sobre matemáticas y enseñanza, frases escogidas, frases sacando punta, frases que hablamos mal, diálogos escogidos, diálogos paradójicos, salidas para todo.

jueves, 1 de mayo de 2014

412. LOS UNOS Y LOS DOSES.

Restando de 11 el 2, se obtiene 9, que es un cuadrado perfecto.
Restando de 1111 el 22, se obtiene 1.089, que también es un cuadrado perfecto.
Lo curioso es, que siempre que formemos un número con una cantidad par de unos y otro con la mitad de doses, al restar del primero el segundo obtenemos un cuadrado perfecto.
¿Cree Vd. que esta afirmación es cierta?

2 comentarios:

  1. Tomemos el número 10^n / 3. Este número tiene como parte entera 333..n)..333 con n treses y como parte fraccionaria 1/3: 10^n / 3 = 333..n)..333 + 1/3.

    Elevamos los dos términos de la igualdad al cuadrado:

    (1) 10^2n / 9 = 333..n)..333^2 + 2/3 x 333..n)..333 + 1/9 = 333..n)..333^2 + 222..n)..222 + 1/9.

    10^(2n) / 9 tiene como parte entera 111..2n)..111 con 2n unos y como parte fraccionaria 1/9: 10^(2n) / 9 = 111..2n)..111 +1/9. Sustituyendo en (1):

    111..2n)..111 +1/9 = 333..n)..333^2 + 222..n)..222 + 1/9.
    111..2n)..111 = 333..n)..333^2 + 222..n)..222.

    (2) 111..2n)..111 - 222..n)..222 = 333..n)..333^2.

    Si a un número formado por una cantidad par de unos le restamos otro formado por la mitad de doses, obtenemos el cuadrado de un número formado por la mitad de treses que unos tenía el número original.

    QED.

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  2. La operación la podemos expresar como:
    (10^(2k)-1)/9 -(10^k-1)/9 = c^2
    Simplificando obtenemos:
    (10^k-1)^2/9 = c^2
    (10^k-1)^2=9 c^2
    10^k-1=3 c

    de donde c = (10^k-1)/3
    lo que siempre es un entero ya que 10^k-1 es 9999...999 tantos como indica el exponente k.
    puesto de otra forma:
    c = 3 (10^k-1)/9;

    Vicente.,

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